17972. Точки E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
квадрат ABCD
со стороной 1, причём \angle EAB=20^{\circ}
и \angle EAF=45^{\circ}
. Найдите высоту треугольника AEF
, проведённую из вершины A
.
Ответ. 1.
Указание. На продолжении стороны CD
за точку D
отложите отрезок DC=BE
.
Решение. На продолжении стороны CD
за точку D
отложим отрезок DC=BE
. Прямоугольные треугольники ADG
и ABE
равны по двум катетам, поэтому
AG=AE~\mbox{и}~\angle DAG=\angle BAE=20^{\circ}.
Тогда
\angle FAD=\angle BAD-\angle BAF=90^{\circ}-(20^{\circ}+45^{\circ})=25^{\circ},
поэтому
\angle FAG=20^{\circ}+25^{\circ}=45^{\circ}=\angle EAF.
Значит, треугольники EAF
и AFG
с общей стороной AF
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны их соответствующие высоты, т. е. AH=AD=1
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2019, задача 1, с. 42