17973. На окружности против часовой стрелки отмечены точки A
, B
, C
, D
,E
и F
в указанном порядке. Известно, что BD\perp CF
, а хорды CF
, BE
и AD
пересекаются в одной точке; M
— проекция точки B
на прямую AC
, а N
— проекция точки D
на прямую CE
. Докажите, что AE\parallel MN
.
Указание. Точки B
, M
, L
и C
лежат на окружности с диаметром BC
, а точки C
, D
, N
и L
лежат на окружности с диаметром CD
.
Решение. Пусть хорды CF
, BE
и AD
пересекаются в точке K
, а хорды CF
и BD
— в точке L
.
Поскольку
\angle BMC=90^{\circ}=\angle CBL,
точки B
, M
, L
и C
лежат на окружности с диаметром BC
. Тогда
\angle CML=\angle CBL=\angle CBD=\angle CAD.
Значит, ML\parallel AK
.
Поскольку
\angle CND=90^{\circ}=\angle CLD,
точки C
, D
, N
и L
лежат на окружности с диаметром CD
. Тогда
\angle CNL=\angle CDL=\angle CDB=\angle CEB.
Значит, NL\parallel EK
.
Отсюда
\frac{CM}{CA}=\frac{CL}{CK}=\frac{CN}{CE}.
Следовательно, MN\parallel AE
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2021, задача 2, с. 18