17974. Точка K
лежит на медиане BM
треугольника ABC
, причём CM=CK
и \angle CBM=2\angle ABM
. Докажите, что BC=KM
.
Указание. Отметьте точку, симметричную вершине C
относительно прямой KM
.
Решение. Пусть L
— точка, симметричная точке C
относительно прямой BM
. Поскольку CK=CM
, углы CKM
и CMK
равны. С другой стороны точка L
симметрична C
относительно прямой KL
, поэтому
\angle LKM=\angle CKM=\angle CMK.
Значит, KL\parallel CM
.
В то же время,
KL=KC=CM=MA,
поэтому KL\parallel AM
. Следовательно, KMAL
— параллелограмм. Тогда KM\parallel AL
и KM\parallel AL
.
Поскольку
\angle LBM=\angle CBM=2\angle ABM,
то \angle KBA=\angle ABL
, а так как AL\parallel MB
, то
\angle BAL=\angle MBA=\angle LBA.
Следовательно, LB=KA
. Учитывая симметрию относительно прямой BM
, получаем
KM=LA=LB=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2021, задача 6, с. 20