17975. Точка D
лежит на основании EAB
равнобедренного треугольника ABC
, причём AD\lt DB
. Точки P
и Q
лежат на боковых сторонах BC
и AC
соответственно, причём \angle DPB=\angle DQA=90^{\circ}
. Серединный перпендикуляр к отрезку PQ
пересекает отрезок CQ
в точке E
, описанные окружности треугольников ABC
и CPQ
вторично пересекаются в точке F
, а точки P
, E
и F
лежат на одной прямой. Докажите, что \angle ACB=90^{\circ}
.
Решение. Пусть l
— серединный перпендикуляр к отрезку PQ
, \Omega
— описанная окружность треугольника ABC
, а \omega
— описанная окружность треугольника CPQ
. Поскольку DP\perp BC
и AQ\perp AC
, окружность \omega
проходит через точку D
; более того CD
— диаметр \omega
.
Точка E
лежит на серединном перпендикуляре l
к отрезку PQ
, поэтому прямые QE
и PE
симметричны относительно l
, а так как окружность \omega
тоже симметрична относительно l
, то точки C
и F
симметричны относительно l
. Тогда прямая l
— серединный перпендикуляр к общей хорде пересекающихся окружностей \omega
и \Omega
. Следовательно, центр O
окружности \Omega
лежит на прямой l
.
Пусть M
— середина AB
. Поскольку CM\perp DM
, точка M
тоже лежит на окружности \omega
, а так как
\angle QCM=\angle ACM=\angle BCM=\angle PCM,
то хорды PM
и QM
окружности \omega
равны. Значит, точка M
лежит на прямой l
.
Итак, обе точки M
и O
лежат и на прямой l
, и на прямой CM
. Значит, они совпадают. Следовательно, \angle ACB=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2021, задача 6, с. 20