17976. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором BC\lt CA\lt AB
. Точки K
и L
лежат на сторонах AC
и AB
соответственно, причём AK=AL=BC
. Серединные перпендикуляры к отрезкам CK
и BL
пересекают прямую BC
в точках P
и Q
соответственно. Отрезки KP
и LQ
пересекаются в точке M
. Докажите, что CK+KM=BL+LM
.
Решение. Пусть точки D
и E
лежат лучах ML
и MK
соответственно, причём LD=AB
и KE=AC
. Тогда
\angle DLA=\angle BLM=\angle LBC,~LD=AB~\mbox{и}~AL=BC,
поэтому треугольники DLA
и ABC
равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники EAK
и ABC
.
Из равенства
\angle DAL+\angle LAK+\angle KAE=\angle BCA+\angle CAB+\angle ABC=180^{\circ}
следует, что точка A
лежит на отрезке DE
, а так как
\angle LDA=\angle BAC=\angle AEK,
то треугольник MDE
равнобедренный, MD=ME
.
Заметим, что
BL+LM=(AB-AL)+LM=(AB+LM)-AL=(DL+LM)-AL=DM-AL,
CK+KM=(AC-AK)+KM=(AC+KM)-AK=(EK+KM)-AK=EM-AK.
Поскольку DM=EM
и AL=AK
, правые части полученных равенств равны, значит, равны и левые части, т. е.
CK+KM=BL+LM.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2022, задача 2, с. 18