1798. Даны точки A
и B
. Найдите геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до точки A
больше, чем расстояние до точки B
.
Ответ. Содержащая точку B
полуплоскость, граница которой — серединный перпендикуляр к отрезку AB
Указание. Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра к отрезку и неравенством треугольника.
Решение. Серединный перпендикуляр к отрезку AB
делит плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость, содержащую точку B
. Докажем, что для любой точки M
этой полуплоскости AM\gt BM
. Действительно, поскольку точки A
и M
лежат в разных полуплоскостях с границей l
, то отрезок AM
пересекает прямую l
в некоторой точке D
. По свойству серединного перпендикуляра AD=BD
, поэтому
BM\lt BD+DM=AD+DM=AM.
Докажем теперь, что если BM\lt AM
, то точки B
и M
лежат в одной полуплоскости с границей l
.
Точка M
не может лежать на прямой l
, так как в этом случае BM=AM
. Если же точки B
и M
лежат по разные стороны от прямой l
, то точки M
и A
лежат по одну сторону от этой прямой. В этом случае (см. первую часть доказательства) BM\gt AM
, что противоречит условию.