17980. Точка I
лежит внутри четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность с центром O
. Прямые d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
d_{4}
проходят через середины отрезков IA
, IB
, IC
, ID
перпендикулярно прямым OA
, OB
, OC
, OD
соответственно. Прямые d_{1}
и d_{2}
пересекаются в точке P
, прямые d_{2}
и d_{3}
— в точке Q
, прямые d_{3}
и d_{4}
— в точке S
, прямые d_{4}
и d_{1}
— в точке T
. ЧетырёхугольникPQST
выпуклый, а точки I
и O
лежат внутри него. Докажите, что в четырёхугольник PQST
можно вписать окружность.
Указание. Отметьте середины отрезков OI
, IA
, IB
, IC
и ID
.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности четырёхугольника ABCD
, а M
и X
— середины отрезков IO
и IA
соответственно. Тогда MX
— средняя линия треугольникаAIO
, поэтому MX=\frac{1}{2}OA
и MK\parallel OA
. Значит, MX\perp TP
и MX=\frac{1}{2}R
. Аналогично, если Y
, Z
и U
— середины IB
, IC
и ID
соответственно, то MY\perp PQ
, MZ\perp QS
, MU\perp ST
и MY=MZ=MY=\frac{1}{2}R
. Следовательно, окружность с центром M
и радиусом \frac{1}{2}R
касается сторон четырёхугольника PQST
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2024, задача 2, с. 18