17987. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC
, касается основания AB
и боковой стороны BC
в точках D
и E
соответственно. Прямая, отличная от прямой AE
, проходит через точку A
и пересекает окружность в точках F
и G
. Прямые EF
и EG
пересекают прямую AB
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что DK=DL
.
Решение. Пусть AF\lt AG
, а точка G
лежит на меньшей дуге DE
вписанной окружности \omega
треугольника ABC
(рис. 1).
Пусть окружность \omega
касается боковой стороны AC
в точке J
. Тогда
\angle CAB=\angle CJE=\angle JDE=\angle JFE,
поэтому четырёхугольник AJFK
вписанный, а так как
AJ=AD=BD=BE~\mbox{и}~\angle KAJ=\angle LBE,
то треугольники AKJ
и BLE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AK=BL
. Следовательно, DK=DL
.
Если точка G
лежит на большей дуге DE
(между E
и J
), то точки K
, A
, B
и L
в указанном порядке лежат на одной прямой AB
, а вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник AKJF
(рис. 2). Далее аналогично предыдущему случаю.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2025, задача 3