17988. Дан остроугольный треугольник ABC
, а E
— точка, лежащая с вершиной B
по разные стороны от прямой AC
. На отрезке AE
отмечена точка D
. Известно, что \angle ADB=\angle CDE
, \angle BAD=\angle ECD
и \angle ACB=\angle ABE
. Докажите, что точки B
, C
и E
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть B'
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой AE
. Тогда
\angle ADB'=\angle ADB=\angle EDC,
поэтому точки C
, D
и B'
лежат на одной прямой. Тогда
\angle EAB'=\angle EAB=\angle ECD=\angle ECB'.
Из точек A
и C
, лежащих по одну сторону от прямой B'E
, отрезок B'E
виден под одним и тем же углом. Значит, четырёхугольник B'ACE
вписанный. Тогда
\angle ECA=180^{\circ}-\angle EB'A=180^{\circ}-\angle EBA=180^{\circ}-\angle ACB,
поэтому
\angle ECA+\angle ACB=180^{\circ}.
Следовательно, точки B
, C
и E
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2008, задача T-3