17989. Точка E
лежит на диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
, причём AD=AE
и CB=CE
. Точка M
— центр окружности, описанной около треугольника BDE
. Эта окружность пересекает прямую AC
в точках E
и F
. Докажите, что прямые FM
, AD
и BC
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка A
лежит между C
и F
(для случая, когда C
лежит между A
и F
рассуждения аналогичны). Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке P
.
Поскольку MB=ME
и BC=CE
, треугольники MBC
и MEC
с общей стороной CM
равны по трём сторонам. Значит,
\angle MBC=\angle MEC=180^{\circ}-\angle MEF=180^{\circ}-\angle MFC.
Следовательно, четырёхугольник MPBD
вписанный.
Учитывая вписанность четырёхугольников ABCD
и FMBC
, получаем
\angle PMB=\angle PBD=\angle ADB=\angle ACB=\angle FCB=180^{\circ}-\angle FMB.
Значит, точки F
, M
и P
лежат на одной прямой. Следовательно, прямые FM
, AD
и BC
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2010, задача I-3