17991. Точки A
, B
, C
, D
, E
расположена на плоскости так, что ABCD
— вписанный четырёхугольник, а ABDE
— параллелограмм. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке S
, а лучи AB
и DC
— в точке F
. Докажите, что \angle AFS=\angle ECD
.
Указание. Пусть M
и N
— проекции точки S
на прямые AB
и CD
соответственно. Тогда треугольники MSN
и EDC
подобны.
Решение. Пусть M
и N
— проекции точки S
на прямые AB
и CD
соответственно. Тогда точки M
и N
лежат на окружности с диаметром FS
. Вписанные в эту окружность углы SFM
и SNM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AFS=\angle MFS=\angle MNS.
Теперь нужно доказать, что \angle MNS=\angle ECD
. Для этого достаточно установить подобие треугольников MSN
и EDC
.
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный, треугольники ABS
и DCS
подобны по двум углам, а так как SM
и SN
— соответствующие высоты и AB=ED
как противоположные стороны параллелограмма ABDE
, то
\frac{SM}{SN}=\frac{AB}{CD}=\frac{ED}{CD}.
Кроме того, поскольку четырёхугольник MFNC
вписанный, а AF\parallel DE
, то
\angle MSN=180^{\circ}-\angle AFD=\angle EDF=\angle EDC.
Таким образом, треугольники MSN
и EDC
подобны. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2010, задача T-65