17995. Точка K
— середина стороны AB
треугольника ABC
. Точки L
и M
лежат на сторонах AC
и BC
соответственно, причём \angle CLK=\angle KMC
. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB
, AC
и BC
, проходящие через точки K
, L
и M
соответственно, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть S
— точка пересечения указанных перпендикуляров из точек K
и L
, а T
— перпендикуляров из K
и M
. Тогда AKSL
и BMTK
— вписанные четырёхугольники. Значит,
\angle SAK=\angle SLK=\angle CLK-90^{\circ}
(или 90^{\circ}-\angle CKL
, если угол CKL
острый). Аналогично,
\angle TBK=\angle TMK=\angle CMK-90^{\circ}
(или 90^{\circ}-\angle CMK
, если угол CMK
острый). Тогда \angle SAK=\angle TBK
.
Поскольку K
— середина AB
, то точки S
и T
совпадают. Следовательно, три указанных в условии перпендикуляра, пересекаются в одной точке.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2012, задача T-5, с. 11