17996. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором нет параллельных сторон, а \angle ABC=\angle ADC
. Точки пересечения биссектрис соседних углов ABCD
образуют четырёхугольник EFGH
, диагонали EG
и FH
которого пересекаются в точке K
(см. рис.). Докажите, что прямые AB
и CD
пересекаются на описанной окружности треугольника BKD
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения прямых AB
и CD
, а J
— точка пересечения прямых BC
и AD
. Тогда точка F
пересечения биссектрис углов BCI
и IBC
— центр вписанной окружности треугольника IBC
, а IF
— биссектриса угла BIC
. В то же время, H
— точка пересечения биссектрисы угла AID
треугольника AID
и внешней биссектрисы DE
угла ADI
этого треугольника, поэтому H
— центр вневписанной окружности треугольника AID
, а AH
— тоже биссектриса угла BIC
. Таким образом, лучи IF
и IH
совпадают. Следовательно, точки I
, F
и H
лежат на одной прямой. Аналогично, точки J
, E
и G
тоже лежат на одной прямой.
Обозначим \angle BAD=\alpha
и \angle ABC=\angle CDA=\beta
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AID=\angle ADC-\angle DAI=\angle ADC-(180^{\circ}-\angle BAD)=\beta-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha+\beta-180^{\circ},
\angle AJB=\angle CBA-\angle BAJ=\angle CBA-(180^{\circ}-\angle BAD)=\beta-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha+\beta-180^{\circ}.
Заметим, что сумма внутренних углов невыпуклого четырёхугольника AIKC
равна 360^{\circ}
, поэтому
\angle IKJ=360^{\circ}-\angle KIA-\angle KJA-(360^{\circ}-\angle JAI)=\angle JAI-\angle KIA-\angle KJA=
=\angle JAI-\frac{1}{2}\angle AID-\frac{1}{2}\angle AJB=\alpha-\frac{\alpha+\beta-180^{\circ}}{2}-\frac{\alpha+\beta-180^{\circ}}{2}=
=180^{\circ}-\beta=\angle JDI=\angle JBI.
Из точек K
, B
и D
, лежащих по одну сторону от прямой IG
, отрезок IJ
виден под одним и тем же углом. Следовательно, эти точки лежат на одной окружности. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2012, задача T-6, с. 11