18002. Около остроугольного треугольника ABC
(AC\gt AB
) описана окружность \Omega
. Точка P
лежит на её меньшей дуге BC
, причём AP=AC
. Прямые AP
и BC
пересекаются в точке Q
. Точка R
лежит на меньшей дуге AC
, причём QA=QR
. Прямая BC
пересекается с серединным перпендикуляром к стороне AB
в точке S
. Докажите, что точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Omega
. Обозначим \angle ARQ=\angle PAR=\varphi
. Тогда центральный угол POR
вдвое больше соответствующего вписанного угла PAR
, т. е. \angle POR=2\varphi
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle PQR=\angle ARQ+\angle PAR=2\varphi=\angle POR.
Из точек O
и Q
, лежащих по одну сторону от прямой PR
, отрезок PR
виден под одним и тем же углом. Значит, точки P
, Q
, O
и R
лежат на одной окружности.
Обозначим \angle APC=\angle ACP=\angle ABC=\beta
. Тогда
\angle AOP=2\angle ACP=2\beta~\Rightarrow~\angle PAO=\angle APO=90^{\circ}-\beta=\angle OPQ,
поэтому
\angle OSQ=\angle OSB=90^{\circ}-\beta=\angle OPQ.
Значит, точки P
, Q
, O
и S
тоже лежат на одной окружности, а так как через точки P
, Q
и O
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то эти окружности совпадают. Следовательно, на ней лежат точки P
, Q
, R
и S
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2019, задача I-3, с. 6