18003. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекает сторону AC
в точке D
. На меньшей дуге AC
описанной окружности треугольника ABC
отмечена точка P
, для которой DP\parallel BC
. Точка M
— середина стороны AB
. Докажите, что \angle APD=\angle MPB
.
Указание. Докажите подобие треугольников AQP
и MBP
.
Решение. Пусть луч PD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке Q
. Тогда
\angle ADQ=\angle ACB=\angle APB~\mbox{и}~\angle AQD=\angle AQP=\angle ABP,
поэтому треугольники AQD
и ABP
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AQ}{QD}=\frac{AB}{BP}~\Rightarrow~\frac{AQ}{\frac{1}{2}QP}=\frac{2MB}{BP}~\Rightarrow~\frac{AQ}{QP}=\frac{MB}{BP}.
Кроме того, \angle AQP=\angle MBP
, поэтому треугольники AQP
и MBP
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle APD=\angle MPB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2019, задача T-5, с. 6