18004. Точка D
лежит на стороне BC
остроугольного треугольника ABC
. Точки E
, F
и A
лежат по одну сторону от прямой BC
, причём, во-первых, DE\perp BE
и прямая DE
касается описанной окружности треугольника ACD
, а во-вторых, DF\perp CF
и прямая DF
касается описанной окружности треугольника ABD
. Докажите, что точки A
, D
, E
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть прямые BE
и CF
пересекаются в точке T
. Обозначим \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle ADF=\angle ABD=\angle ABC=\beta,~\angle ADE=\angle ACD=\angle ACB=\gamma.
\angle EDF=\angle ADF+\angle ADE=\beta+\gamma=180^{\circ}-\angle BAC.
Из точек E
и F
отрезок DT
виден под прямым углом, точки E
, D
, F
, T
лежат на окружности с диаметром DT
. Тогда
\angle BTC=\angle ETF=180^{\circ}-\angle EDF=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BAC)=\angle BAC,
поэтому точки A
, B
, C
, T
тоже лежат на одной окружности. Значит,
\angle ATE=\angle ATB=\angle ACB=\angle ACD=\angle ADE.
Из точек T
и D
, лежащих по одну сторону от прямой AE
, отрезок AE
виден под одним и тем же углом. Значит, точки A
, E
, D
и T
лежат на одной окружности — на описанной окружности, треугольника DET
, а так как на этой окружности лежит точка F
, то точки A
, D
, E
и F
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2021, задача I-3, с. 6/22