18005. Окружность \Omega
описана около треугольника ABC
с прямым углом при вершине A
. Медианы, проведённые из вершин B
и C
, вторично пересекают \Omega
в точках D
и E
соответственно. Касательная к окружности \Omega
в точке D
пересекает прямую AC
в точке X
, а касательная к \Omega
в точке E
пересекает прямую AB
в точке Y
. Докажите, что прямая XY
— касательная к окружности \Omega
.
Указание. Пусть X'
— точка пересечения касательных к \Omega
в точках D
и G
. Докажите, что точки A
, C
и X'
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть G
— точка пересечения продолжения медианы, проведённой из вершины A
треугольника ABC
, с окружностью \Omega
. Докажем, что прямая XY
касается \Omega
в точке G
.
Пусть X'
— точка пересечения касательных к \Omega
в точках D
и G
. Докажем, что точки A
, C
и X'
лежат на одной прямой.
Пусть O
— центр окружности \Omega
, а M
— середина стороны BC
. Поскольку центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного, а ABGC
— прямоугольник (а тогда AC\parallel BG
), получаем
\angle GOX'=\frac{1}{2}\angle GOD=\angle GBD=\angle AMB.
Значит, прямоугольные треугольники MAB
и OGX'
подобны, поэтому \frac{X'G}{OG}=\frac{AB}{AM}
, а так как AC=2AM
и AG=2OG
, то прямоугольные треугольники BAC
и X'GA
тоже подобны. Значит,
\angle GAX'=\angle ACB=\angle GAC.
Следовательно, точки A
, C
и X'
лежат на одной прямой.
Отсюда получаем, что точка X'
совпадает с точкой X
из условия задачи, а тогда касательная к \Omega
в точке G
проходит через точку X
. Аналогично для точки Y
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2022, задача T-5, с. 8/13