18007. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Точка J
— центр его вневписанной окружности, касающейся отрезка BC
. Точка Q
— основание высоты, проведённой из вершины A
. Биссектрисы углов BDJ
и CDJ
пересекают прямые BJ
и CJ
в точках X
и Y
соответственно. Отрезки XY
и DJ
пересекаются в точке P
, а D
— проекция точки J
на прямую BC
. Докажите, что биссектриса угла QAP
перпендикулярна XY
.
Указание. Пусть вневписанная окружность из условия задачи касается продолжений сторон AC
и BC
в точках E
и F
соответственно. На продолжении отрезка DP
за точку P
отложите отрезок DZ=AE
и докажите равенство треугольников AEY
и ZDY
.
Решение. Пусть вневписанная окружность из условия задачи касается продолжений сторон AC
и BC
в точках E
и F
соответственно. Тогда AE=AF
.
Отметим на луче DP
точку Z
, для которой DZ=AE
. Заметим, что
CE=CD,~DY=EY,~DZ=AE~\mbox{и}~\angle CEY=\angle CDY=\angle ZDY,
поэтому треугольники AEY
и ZDY
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AY=ZY
. Аналогично,
BF=BD,~DX=FX,~DZ=AF~\mbox{и}~\angle AFX=\angle BDX=\angle XDZ,
поэтому треугольники AFX
и ZDX
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AX=ZX
.
Поскольку AX=ZX
и AY=ZY
, прямая XY
— серединный перпендикуляр к отрезку AZ
. Значит, AP=PZ
, поэтому, учитывая параллельность AQ
и DZ
, получаем
\angle ZAP=\angle PZA=\angle QAZ.
Тогда AZ
— биссектриса угла QAP
. В то же время, XY\perp AZ
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2023, задача T-6, с. 19