18009. Дан треугольник ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине A
. Точка D
лежит на продолжении стороны CA
за точку A
, причём AD=AB
. На описанной окружности треугольника DBC
отмечены различные точки E
и F
, причём AE=AF=BC
. Докажите, что прямая EF
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Пусть N
— середина дуги BAC
описанной окружности треугольника ABC
. Докажите что AENF
— ромб.
Решение. Пусть N
— середина дуги BAC
описанной окружности \omega
треугольника ABC
. Тогда треугольник NBC
равносторонний, а точка N
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Кроме того, поскольку
\angle CAN=\angle CBN=60^{\circ},
а
\angle BAD=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=2\angle CAN,
то биссектриса угла при вершине A
равнобедренного треугольника BAD
лежит на прямой AN
. Значит, прямая NA
— серединный перпендикуляр к стороне BD
треугольника BCD
, а так как точка N
лежит также на серединном перпендикуляре к стороне BC
этого треугольника, то N
— центр описанной окружности \Omega
треугольника BCD
. Тогда радиус окружности \Omega
равен стороне равностороннего треугольника NBC
. Значит,
AE=AF=BC=NB=NE=NF=NC,
поэтому AENF
— ромб. Его диагонали EF
и AN
перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, т. е. прямая AN
— серединный перпендикуляр к хорде AN
окружности \omega
. Следовательно, прямая EF
проходит через центр окружности \omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2024, задача T-5, с. 29