18010. Окружность \omega
, вписанная в треугольник ABC
касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки P
и Q
, отличные от D
, лежат на прямой BC
, причём PB=BD
и QC=CD
. Докажите, что окружность \omega
и описанные окружности треугольников PCE
и QBF
проходят через одну точку.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
, противолежащие сторонам BC
, CA
и AB
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть I_{A}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Тогда BP=BD=BF
, поэтому треугольник BEP
равнобедренный с основанием PF
, а так как ABP
— внешний угол этого треугольника, то
\angle PFB=\angle BPF=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\beta}{2}.
Аналогично,
\angle QEC=\angle CQE=\frac{\gamma}{2}.
Утверждение 1. Четырёхугольник PFEQ
вписанный.
Действительно, уже доказано, что \angle QPF=\frac{\beta}{2}
; в то же время
\angle FEQ=\angle FED+\angle DEC+\angle CEQ=\angle FDB+\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)+\frac{\gamma}{2}=
=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)+90^{\circ}=180^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Следовательно, четырёхугольник PFEQ
вписанный. Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. I_{A}
— центр описанной окружности четырёхугольника PQEQ
. Действительно, треугольники BEP
и CEQ
равнобедренные, поэтому серединные перпендикуляры к их основаниям соответственно PF
и QE
, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
на этих серединных перпендикулярах. Значит, эти перпендикуляры, как и точка пересечения указанных биссектрис, пересекаются в точке I_{A}
. Отсюда следует утверждение 2.
Утверждение 3. Четырёхугольники I_{A}CEP
и I_{A}BFQ
вписанные. Действительно, центральный угол EI_{A}P
описанной окружности четырёхугольника PFEQ
вдвое больше вписанного угла EQP
, равного \frac{\gamma}{2}
, поэтому
\angle EPQ=2\cdot\frac{\gamma}{2}=\gamma=\angle ECP.
Из точек I_{A}
и C
, лежащих по одну сторону от прямой PE
, отрезок PE
виден под одним и тем же углом. Следовательно, четырёхугольник I_{A}CEP
вписанный. Аналогично для четырёхугольника I_{A}BFQ
. Утверждение 3 доказано.
Пусть G
— отличная от D
точка пересечения прямой I_{A}D
с вписанной окружностью треугольника ABC
.
Утверждение 4. Четырёхугольники I_{A}FGQ
и I_{A}EGP
вписанные. Действительно, по теореме об угле между касательной и хордой для описанной окружности треугольника ABC
получаем
\angle FGI_{A}=\angle FGD=\angle BFD=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Поскольку треугольник FQI_{A}
равнобедренный, а FI_{A}Q
— центральный угол описанной окружности четырёхугольника PFEQ
, то
\angle FQI_{A}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle FI_{A}Q=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot2\angle FPQ=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Следовательно, четырёхугольник I_{A}FGQ
вписанный. Аналогично для четырёхугольника I_{A}EGP
. Утверждение 4 доказано.
Из него и из утверждения 3 получаем, что точка G
, лежащая на вписанной окружности треугольника ABC
лежит также на описанной окружности треугольника PCE
, так как
\angle I_{A}GP=\angle I_{A}EP=\angle I_{A}CP.
Аналогично, точка G
лежит на описанной окружности треугольника QBF
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2025, задача I-2, с. 8