18011. Дан параллелограмм ABCD
и две окружности радиуса R
. Первая проходит через точки A
и B
, вторая — через B
и C
. Окружности пересекаются в точках B
и E
, причём точка E
отлична от вершины параллелограмма. Докажите, что радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и E
, тоже равен R
.
Указание. Пусть G
— центр окружности из условия задачи,Ю проходящей через точки B
и C
. Достройте треугольник ABG
до параллелограмма ABGO
.
Решение. Пусть F
и G
— центры окружностей из условия задачи, проходящих через точки A
, B
и B
, C
соответственно. Достроим треугольник ABG
до параллелограмма ABGO
. Тогда \angle AOD=\angle GBC
, поэтому треугольники OAD
и GBC
равны по двум сторонам и углу между ними, а так как GB=GC=R
, то OA=OD=R
.
Четырёхугольник EFBG
— ромб, поэтому EF\parallel GB\parallel OA
и EF=GB=OA=R
. Тогда AFEO
— параллелограмм, поэтому OE=AF=R=OD
. Следовательно, точки A
, D
и E
лежат на окружности радиуса R
. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 1987, задача 2, с. 14