18012. На полуокружности с диаметром AB
и центром O
отмечена точка C
, для которой OC\perp AB
, и точка P
на меньшей дуге BC
. Прямые CP
и AB
пересекаются в точке Q
. Точка R
лежит на луче AP
, причём RP\perp AB
. Докажите, что BQ=QR
.
Решение. Точка P
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle BPR=\angle BPA=90^{\circ}=\angle BQR.
Значит, точки P
и R
лежат на окружности с диаметром BR
. Тогда
\angle QBR=\angle QPR=\angle CPA=45^{\circ},
поэтому треугольник BQR
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, BQ=QR
. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 1995, задача 1, с. 32