18014. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
и точка P
, лежащая внутри него. Известно, что треугольники ABP
, BCP
, CDP
и DAP
равновелики. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей делит другую пополам.
Решение. Пусть точка P
не лежит на диагонали AC
, а прямая BP
пересекает эту диагональ в точке M
. Опустим перпендикуляры AS
и CT
на прямую BP
. Треугольники APB
и CPB
равновелики, поэтому их высоты равны, т. е. AS=CT
.
Если точки S
и T
различны, то из равенства прямоугольных треугольников ASM
и CTM
получаем, что AM=CM
. Если точки S
и T
совпадают, то AC\perp PB
, и тогда эти точки совпадают с серединой M
диагонали AC
.
Если же точки S
и T
различны, то точка M
— середина AC
из равенства прямоугольных треугольников ASM
и CTM
.
Аналогично докажем, что прямая DP
пересекает диагональ AC
тоже в её середине M
. Из всего этого получаем, что точки B
, M
и P
, а также D
, M
и P
лежат на одной прямой. Следовательно, диагональ BD
проходит через середину диагонали AC
.
Если точка P
лежит на диагонали AC
, то из равновеликости треугольников ABP
и BCP
следует, что BM
— медиана треугольника ABC
, т.е M
— середина AC
.
Если точка P
не лежит на диагонали BD
, то аналогично докажем, что что диагональ AC
проходит через середину диагонали BD
.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 1997, задача 2, с. 38