18016. Трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
(CD\gt AD
) вписана в окружность \Omega
. Хорда DP
этой окружности параллельна диагонали AC
трапеции. Касательная к окружности \Omega
пересекает прямую AB
в точке E
, а хорда BP
пересекает основание CD
в точке Q
. Докажите, что EQ=AC
.
Указание. Докажите равенство треугольников ADE
и CBQ
.
Решение. Поскольку AD\lt CD
, то
\angle PDC=\angle DCA\lt\angle DAC,
поэтому дуга CP
, не содержащая точек A
и B
, меньше дуги CD
, не содержащей точек A
и B
. Следовательно, точка P
лежит на дуге CD
, не содержащей точек A
и B
.
Вписанная в окружность трапеция равнобедренная, DP\parallel AC
, \angle PDC=\angle CAB
, а ADE
— угол между касательной и хордой. Тогда
AD=BC,~\angle EDA=\angle ACD=\angle PDC=\angle PBC=\angle QBC.
Кроме того, по свойству вписанного четырёхугольника
\angle EAD=180^{\circ}-\angle BAD=\angle BCD=\angle BCQ.
Значит, треугольники ADE
и CBQ
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда EA=CQ
, а так как EA\parallel CQ
, то AEQC
— параллелограмм. Следовательно, EQ=AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2002, задача 1, с. 49