1802. На боковых сторонах AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
построены вне его равные треугольники AMB
и ANC
(AM=AN
). Докажите, что точки M
и N
симметричны относительно биссектрисы угла BAC
.
Указание. Прямая, на которой лежит биссектриса угла, есть ось симметрии угла.
Решение. Пусть AD
— биссектриса треугольника ABC
. Поскольку
\angle BAD=\angle CAD,~\angle BAM=\angle CAN,
то
\angle MAD=\angle BAM+\angle BAD=\angle CAN+\angle CAD=\angle NAD,
поэтому AD
— биссектриса угла MAN
, а так как угол симметричен относительно своей биссектрисы, то луч AM
при симметрии относительно прямой AD
переходит в луч AN
. Кроме того, AM=AN
, поэтому при симметрии относительно прямой AD
точка M
переходит в точку N
.