18020. Окружности \Gamma_{A}
, \Gamma_{B}
и \Gamma_{C}
пересекаются в точке O
. Окружности \Gamma_{A}
и \Gamma_{B}
вторично пересекаются в точке C
, окружности \Gamma_{A}
и \Gamma_{C}
— в точке B
, а \Gamma_{C}
и \Gamma_{B}
— в точке A
. Прямая AO
вторично пересекает \Gamma_{A}
в точке X
, прямая BO
вторично пересекает \Gamma_{B}
в точке Y
, прямая CO
вторично пересекает \Gamma_{C}
в точке Z
. Докажите, что
\frac{AY}{AZ}\cdot\frac{BZ}{BX}\cdot\frac{CX}{CY}=1.
Указание. Выразите все шесть отрезков из условия задачи через радиусы окружностей и синусы противолежащих углов.
Решение. Обозначим \angle AOY=\alpha
, \angle AOZ=\beta
и \angle ZOB=\gamma
. Пусть радиусы окружностей \Gamma_{A}
, \Gamma_{B}
и \Gamma_{C}
равны R_{A}
, R_{B}
и R_{C}
соответственно.
По теореме синусов
AY=2R_{B}\sin\alpha,~BZ=2R_{C}\sin\gamma,~CX=2R_{A}\sin\beta,
AZ=2R_{C}\sin\beta,~BX=2R_{A}\sin\alpha,~CY=2R_{B}\sin\gamma.
Следовательно,
\frac{AY}{AZ}\cdot\frac{BZ}{BX}\cdot\frac{CX}{CY}=\frac{2R_{B}\sin\alpha}{2R_{C}\sin\beta}\cdot\frac{2R_{C}\sin\gamma}{2R_{A}\sin\alpha}\cdot\frac{2R_{A}\sin\beta}{2R_{B}\sin\gamma}=1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2010, задача 2, с. 64