18024. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
в котором AB=AD
и AB+BC=CD
. Найдите \angle CDA
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. На отрезке DC
отложите отрезок DE=AD
.
Решение. На отрезке DC
отложим отрезок DE=AD
. Тогда
CE=CD-AD=CD-AB=BC,
поэтому треугольник CEB
равнобедренный с основанием BE
. В то же время, \angle ACB=\angle ACD
как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды AB
и CD
. В равнобедренном треугольнике BCE
биссектриса, проведённая из вершины C
, лежит на серединном перпендикуляре к основанию BE
, поэтому
AE=AB=AD=DE.
Значит, треугольник ADE
равносторонний. Следовательно, \angle CDA=60^{\circ}
.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2016, задача 1