18030. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в различных точках A
и B
, а t
— прямая, касающаяся \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках M
и N
соответственно. Найдите \angle NMB
, если t\perp AM
и MN=2AM
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть прямая AB
пересекает общую касательную t
в точке C
. Тогда по теореме о касательной и секущей
CM^{2}=CA\cdot CB=CN^{2}~\Rightarrow~CM=CN~\Rightarrow~CM=\frac{1}{2}MN=AM.
Значит, прямоугольный треугольник AMC
— равнобедренный, а так как AM\perp MN
, то AM
— диаметр окружности \Gamma_{1}
. Тогда \angle CBM=\angle ABM=90^{\circ}
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle CMB=\angle MAB
. Следовательно,
\angle NMB=\angle CMB=\angle MAB=\angle BCM=45^{\circ}.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2012, задача 2