18032. Трапеция ABCD
с основаниями AB\gt CD
описана около окружности. Вписанная окружность треугольника ABC
касается отрезков AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что центр вписанной окружности трапеции ABCD
лежит на прямой MN
.
Указание. Пусть R
— точка пересечения прямых BI
и MN
. Докажите, что четырёхугольник IRNC
вписанный, а R
— центр окружности, вписанной в трапецию ABCD
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а R
— точка пересечения прямых BI
и MN
. Тогда AN=AM
, поэтому
\angle ANM=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}~\mbox{и}~\angle BIC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Значит,
\angle CNR+\angle CIR=(180^{\circ}-\angle ANM)+(180^{\circ}-\angle BIC)=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник IRNC
вписан в окружность, а так как \angle CNI=90^{\circ}
, то CI
— диаметр этой окружности. Тогда
\angle CRB=\angle CRI=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle BCR=90^{\circ}-\angle CBR=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBA=
=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BCD)=\frac{1}{2}\angle BCD.
Значит, SR
— биссектриса угла BCD
. Следовательно, R
— центр вписанной окружности трапеции ABCD
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2016, задача 1