18034. Точки A'
, B'
и C'
симметричны вершинам A
, B
и C
остроугольного треугольника ABC
относительно прямых BC
, CA
и AB
соответственно. Описанные окружности треугольников ABB'
и ACC'
пересекаются в точке A_{1}
. Аналогично определяются точки B_{1}
и C_{1}
. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Указание. Докажите, что серединны перпендикуляры к отрезкам AB
и AC
содержат высоты треугольника AO_{1}O_{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O
— центры описанных окружностей треугольников ABB'
, ACC'
и ABC
соответственно. Поскольку прямая AB
— серединный перпендикуляр к отрезку CC'
, то O_{2}
— точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AC
с серединным перпендикуляром к отрезку CC'
, т. е. с прямой AB
. Аналогично, O_{1}
— точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB
с прямой AC
. Тогда O
— ортоцентр треугольника AO_{1}O_{2}
, а значит, AO\perp O_{12}O_{2}
.
В то же время, отрезок AA_{1}
— общая хорда пересекающихся окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, поэтому прямая AA_{1}
проходит через точку O
. Аналогично, прямые BB_{1}
и CC_{1}
проходят через точку O
. Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2018, задача 4