18039. Около остроугольного треугольника ABC
с высотой AD
описана окружность с центром O
. Точка M
— середина отрезка OD
. Точки O_{b}
и O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников AOC
и AOB
соответственно. Известно, что AO=AD
. Докажите, что точки A
, O_{b}
, M
и O_{c}
лежат на одной окружности.
Указание. Пусть M_{c}
и M_{b}
— середины сторон AB
и AC
соответственно, а T
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника AOD
. Тогда утверждение задачи равносильно равенству M_{b}T\cdot M_{c}T=O_{b}T\cdot O_{c}T
.
Решение. Заметим, что AB\ne AC
, так как в противном случае из равенства AO=AD
следует, что M
— середина BC
, что невозможно, поскольку треугольник ABC
остроугольный. Без ограничения общности будем считать, что AB\lt AC
.
Пусть M_{c}
и M_{b}
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Поскольку
\angle AM_{b}O=\angle AM_{c}O=\angle AMO=90^{\circ},
пятиугольник AM_{b}OMM_{c}
вписанный.
Прямая AM
— серединный перпендикуляр к отрезку OD
, прямая O_{b}O_{c}
— серединный перпендикуляр к отрезку AO
, а прямая M_{b}M_{c}
— серединный перпендикуляр к отрезку AD
. Значит, эти три прямые пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника AOD
.
Четырёхугольник AO_{b}MO_{c}
вписанный тогда и только тогда, когда AT\cdot TM=O_{b}T\cdot O_{c}T
, а так как четырёхугольник AM_{b}MM_{c}
вписанный, то AT\cdot TM=M_{b}T\cdot M_{c}T
. Следовательно, достаточно доказать, что M_{b}T\cdot M_{c}T=O_{b}T\cdot O_{c}T
.
Предположим, что \angle AOB\lt90^{\circ}
и \angle AOC\gt90^{\circ}
. Тогда точка O_{c}
лежит внутри треугольника AOB
, а точка O_{b}
— вне треугольника AOC
. Заметим, что
\angle O_{b}M_{b}M_{c}=\angle O_{b}M_{b}A+\angle AM_{b}M_{c}=90^{\circ}+\angle ACB.
В то же время,
\angle O_{b}O_{c}M_{c}=180^{\circ}-\angle O_{b}O_{c}O=90^{\circ}+(90^{\circ}-\angle O_{b}O_{c}O)=
=90^{\circ}+\angle AOM_{c}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AOB=90^{\circ}+\angle ACB=\angle O_{b}M_{b}M_{c}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для случая \angle AOB\gt90^{\circ}
и \angle AOC\lt90^{\circ}
. Если \angle AOB=\angle AOC=90^{\circ}
, утверждение очевидно.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2023, задача 4