18041. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
проведена высота AD
. Точка E
— середина отрезка DC
. Прямые AB
и DF
пересекаются в точке X
. Докажите, что XD=XC
.
Указание. Докажите, что H
— ортоцентр треугольника ABE
и примените теорему Менелая к треугольнику ABH
и прямой DX
, а также к треугольнику BHD
и прямой AE
.
Решение. Поскольку E
— середина CD
, достаточно доказать, что XE\perp CD
, равносильно XE\parallel AD
.
Пусть отрезки BF
и AD
пересекаются в точке H
. Тогда
\angle AFB=\angle ADB=90^{\circ},
т. е. AF
— вторая высота треугольника ABE
, Значит, EH\perp AB
, т. е. H
— ортоцентр треугольника ABE
, а EH\parallel AC
. Значит, H
— середина AD
.
Применив теорему Менелая к треугольнику ABH
и прямой DX
, а также к треугольнику BHD
и прямой AE
, получим
\frac{AX}{XB}\cdot\frac{BF}{FH}\cdot\frac{HD}{DA}=1=\frac{DE}{EB}\cdot\frac{BF}{FH}\cdot\frac{HA}{AD},
откуда \frac{AX}{XB}=\frac{DE}{EB}
. Значит, AD\parallel XE
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2025, задача 3