18043. В точки E
и F
лежат на стороне BC
остроугольного треугольнике ABC
, причём лучи AE
и AF
изогонально сопряжены относительно угла ABC
. Эти лучи пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках M
и N
соответственно. На лучах AB
и AC
отмечены точки P
и R
, причём \angle PEA=\angle ABC
и \angle AER=\angle ACB
. Прямые AE
и PR
пересекаются в точке L
, а прямые BC
и LN
— в точке D
. Докажите, что
\frac{1}{MN}+\frac{1}{EF}=\frac{1}{ED}.
Указание. Докажите, что четырёхугольник APER
вписанный и рассмотрите четыре пары подобных треугольников.
Решение. Обозначим \angle BAC+\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
. Из условия следует, что вписанные углы BAM
и CAN
равны, потому равны хорды, на которые они опираются, т. е. BM=CN
. Значит, BC\parallel MN
. Далее отметим подобные треугольники и вытекающие из подобий равенства, которые используем при доказательстве утверждения задачи.
Треугольники AEF
и AMN
подобны по двум углам, так как прямые BC
и AD
параллельны. Значит,
\frac{AE}{AM}=\frac{EF}{MN}.\eqno(1)
Аналогично, подобны треугольники LED
и AMN
подобны по двум углам. Значит,
\frac{LE}{LM}=\frac{ED}{MN}.\eqno(2)
Треугольники APE
и ABE
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам, так как \angle AEP=\angle ABE
по условию. Значит,
\frac{AE}{AB}=\frac{AP}{AE}~\Rightarrow~AE^{2}=AP\cdot AB.
Из равенства \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
получаем
\alpha+\beta=180^{\circ}-\alpha,~\mbox{или}~\angle PER=180^{\circ}-\angle PAR.
Значит, четырёхугольник APER
вписанный. Тогда
\angle APL=\angle APR=\angle AER=\gamma=\angle ACB=\angle AMB,
поэтому треугольники APL
и AMB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам, Значит,
\frac{AP}{AM}=\frac{AL}{AB}~\Rightarrow~AM\cdot AL=AP\cdot AB=AE^{2},
Откуда
\frac{AM}{AE}=\frac{AE}{AL}.\eqno(3)
Из (2) получаем
\frac{1}{MN}=\frac{LE}{LM\cdot ED}.
Тогда из (1) —
\frac{1}{EF}=\frac{AM}{AE\cdot MN}=\frac{AM}{AE}\cdot\frac{LE}{LM\cdot ED}.
Значит,
\frac{1}{MN}+\frac{1}{RF}=\frac{LE}{LM\cdot ED}+\frac{AM}{AE}\cdot\frac{LE}{LM\cdot ED}=\frac{1}{ED}\cdot\frac{LE}{LM}\cdot\left(1+\frac{AM}{AE}\right)=\frac{1}{ED}\cdot\frac{LE}{LM}\cdot\left(1+\frac{AE}{AL}\right)=
=\frac{1}{ED}\cdot\frac{LE}{LM}\cdot\frac{AL+AE}{AL}=\frac{1}{ED}\cdot\frac{(AE-AL)(AE+AL)}{(AM-AL)\cdot AL}=\frac{1}{ED}\cdot\frac{AE^{2}-AL^{2}}{AE^{2}-AL^{2}}=\frac{1}{ED}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада. — 2018, задача 4