18045. Вершины одного квадрата расположены по одной на сторонах другого. Стороны меньшего квадрата отсекают от большего равные прямоугольные треугольники, площади каждого из которых в 12 раз меньше площади большего квадрата. Найдите наименьший угол каждого из отсечённых треугольников.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Пусть S
площадь данного квадрата, a
и b
— катеты отсечённого треугольника, c
— гипотенуза, s
— площадь, \alpha
— наименьший угол. Заметим, что все четыре отсечённых прямоугольных треугольников равны по гипотенузе и острому углу, поэтому сторона данного квадрата равна a+b
. Тогда
S=(a+b)^{2},~s=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c\cos\alpha\cdot c\sin\alpha=\frac{1}{4}c^{2}\sin2\alpha~\Rightarrow~ab=\frac{1}{2}c^{2}\sin2\alpha.
Значит,
s=\frac{1}{12}S~\Rightarrow~\frac{1}{2}ab=\frac{1}{12}(a+b)^{2}~\Rightarrow~6ab=a^{2}+2ab+b^{2}~\Rightarrow~4ab=c^{2},
поэтому
4\cdot\frac{1}{2}c^{2}\sin2\alpha=c^{2},~\mbox{или}~\sin2\alpha=\frac{1}{2},
а так как 2\alpha\lt90^{\circ}
, то 2\alpha=30^{\circ}
. Следовательно, \alpha=15^{\circ}
.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2015, задача 41J/31S, с. 11