18047. Точки A
, B
, C
, D
, E
, F
расположены на окружности \Omega
против часовой стрелки. Отрезок AD
— диаметр окружности \Omega
, прямая BF
пересекает прямые AD
и CE
в точках G
и H
соответственно, \angle FEH=56^{\circ}
, \angle DGB=124^{\circ}
и \angle DEC=34^{\circ}
. Найдите \angle CEB
.
Ответ. 22^{\circ}
.
Решение. Вписанный углы CEB
и CDB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CEB=\angle CDB
. Значит, нужно вычислить угол CDB
.
Четырёхугольник BCEF
вписанный, поэтому
\angle FBC=180^{\circ}-\angle FEC=\angle FEH=56^{\circ},
а так как
\angle DGF=180^{\circ}-\angle DGB=180^{\circ}-124^{\circ}=56^{\circ}=\angle FBC,
то прямые AD
и BC
параллельны. Тогда \angle ADB=\angle DBC
, поэтому
\angle DBC=\angle DEC=34^{\circ}.
Трапеция ABCD
вписана в окружность, а \angle ABD=90^{\circ}
, так как AD
— диаметр окружности \Omega
. Значит,
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-(\angle ABD+\angle DBC)=180^{\circ}-(90^{\circ}+34^{\circ})=56^{\circ}.
Следовательно,
\angle CEB=\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=56^{\circ}-34^{\circ}=22^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2015, задача 46J/36S, с. 13