18048. Точки A
и B
лежат на сторонах соответственно PQ
и RS
прямоугольника PQRS
, причём AP=10
и AQ=8
. Отрезок AB
разбивает этот прямоугольник на трапеции ABSP
и ABRQ
с площадями 90 и 180 соответственно. Найдите AB
.
Ответ. 17.
Решение. Пусть M
— проекция точки A
на прямую SR
. Тогда
270=S_{PQRS}=PQ\cdot AM=18AM~\Rightarrow~QR=PS=AM=\frac{270}{18}=15.
Обозначим BR=x
. Тогда
S_{ABRQ}=\frac{AQ+BR}{2}\cdot QR=\frac{8+x}{2}\cdot15~\Rightarrow~BR=x=16~\Rightarrow
\Rightarrow~BM=BR-MR=BR-AQ=16-8=8.
Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AB=\sqrt{BM^{2}+AM^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2016, задача 17, с. 4