18049. Равносторонний треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
. Точка X
лежит на меньшей дуге BC
этой окружности, а T
— точка пересечения прямых AB
и CX
. Известно, что AX=5
и TX=3
. Найдите BX
.
Ответ. \frac{15}{8}
.
Указание. Через точку T
проведите прямую, параллельную BX
. Пусть эта прямая пересекает прямую AX
в точке U
. Тогда треугольник XUT
равносторонний, а треугольники TUA
и BXA
подобны.
Решение. Заметим, что
\angle UXT=\angle AXC=\angle ABC=60^{\circ},
Через точку T
проведём прямую, параллельную BX
. Пусть эта прямая пересекает прямую AX
в точке U
. Тогда
\angle XUT=\angle AXB=\angle ABC=60^{\circ}.
Значит, треугольник XUT
равносторонний, поэтому TU=TX=XU
.
Треугольники TUA
и BXA
подобны, поэтому
\frac{BX}{AX}=\frac{TU}{AU}~\Rightarrow~BX=\frac{TU}{AU}\cdot AX=\frac{TX}{AU}\cdot AX=\frac{TX\cdot AX}{AU}=
=\frac{TX\cdot AX}{AX+XU}=\frac{TX\cdot AX}{AX+TX}=\frac{3\cdot5}{5+3}=\frac{15}{8}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2016, задача 40, с. 11