18051. Отрезок AB
— диаметр окружности с центром M
. На окружности по одну сторону от прямой AB
отмечены точки D
и C
, для которых AC\perp DM
и \angle MAC=56^{\circ}
. Найдите угол между прямыми AC
и BD
.
Ответ. 73^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезок AC
пересекает отрезки DM
и DB
в точках S
и T
соответственно. Тогда MS
— высота равнобедренного треугольника AMC
, поэтому
\angle DMA=\angle SMA=90^{\circ}-56^{\circ}=34^{\circ},
а так как AMD
— внешний угол равнобедренного треугольника BMD
, то
\angle TDS=\angle BDM=\frac{1}{2}\angle AMD=17^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника TSD
находим, что
\angle DTS=90^{\circ}-\angle TDC=90^{\circ}-17^{\circ}=73^{\circ}.
Следовательно, угол между прямыми AC
и BD
равен 73^{\circ}
.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2017, задача 21, с. 7