18053. Окружность, вписанная в квадрат ABCD
, касается его сторон AB
, BC
, CD
и DA
в точках W
, X
, Y
и Z
соответственно. Точка E
лежит внутри меньшей дуги WX
, а F
— точка пересечения прямых BC
и EY
. Известно, что EF=5
и EY=7
. Найдите площадь треугольника FYC
.
Ответ. 21.
Решение. По теореме о касательной и секущей
XF^{2}=EF\cdot YF=5\cdot12=60.
Пусть сторона квадрата равна 2t
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника FCY
получаем
YF^{2}=YC^{2}+CF^{2}=t^{2}+(t+XF)^{2}=2t^{2}+2t\cdot XF+XF^{2}=2t(t+XF)+XF^{2},
откуда
2t(t+XF)=YF^{2}-XF^{2}.
Тогда
S_{\triangle FYC}=\frac{1}{2}YC\cdot CF=\frac{1}{4}\cdot2t(t+XF)=\frac{1}{4}(YF^{2}-XF^{2})=\frac{1}{4}(12^{2}-60)=21.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2017, задача 47, с. 16