18055. На стороне AB
правильного восьмиугольника ABCDEFIJ
внутри него построен правильный пятиугольник ABKLM
, а вне — квадрат APQB
. Найдите \angle KCQ
.
Ответ. 99^{\circ}
.
Решение. Заметим, что угол правильного пятиугольника равен 108^{\circ}
, а правильного восьмиугольника — 135^{\circ}
.
Тогда
\angle CBK=\angle ABC-\angle ABK=135^{\circ}-108^{\circ}=27^{\circ}.
Треугольник BCK
равнобедренный с основанием CK
и противолежащим углом 27^{\circ}
, поэтому
\angle BCK=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot27^{\circ}=76{,}5^{\circ}.
Треугольник CBQ
равнобедренный с основанием CQ
и противолежащим углом
\angle CKQ=360^{\circ}-90^{\circ}-108^{\circ}-27^{\circ}=35^{\circ},
поэтому
\angle BCQ=\angle90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBQ=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot35^{\circ}=90^{\circ}-17{,}5^{\circ}=22{,}5^{\circ}.
Следовательно,
\angle KCQ=\angle BCK+\angle BCQ=76{,}5^{\circ}+22{,}5^{\circ}=99^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2018, задача 15, с. 5