18056. Около правильного девятиугольника ABCDEFGHI
описана окружность \Omega
с центром O
. Точка M
— середина меньшей дуги AB
окружности \Omega
, P
— середина отрезка MO
, N
— середина стороны BC
. Прямые OC
и PN
пересекаются в точке Q
. Какова градусная мера угла NQC
?
Ответ. 10^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
\angle COM=\angle MOB+\angle MOC=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ},
а так как OM=OC
, то равнобедренный треугольник COM
— равносторонний, поэтому \angle OCM=60^{\circ}
. Вписанный в окружность \Omega
угол BCM
равен половине градусной меры меньшей дуги BM
, равной 20^{\circ}
, т. е.\angle BMC=10^{\circ}
. Значит,
\angle OCB=60^{\circ}+20^{\circ}=70^{\circ},
а так как ON
медиана и высота равнобедренного треугольника BOC
поэтому
\angle ONC=90^{\circ}=\angle OPC.
Таким образом, из точек N
и P
отрезок OC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OC
. Четырёхугольник OCNP
вписанный, поэтому
\angle OPQ=\angle OPN=180^{\circ}-\angle OCN=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.
Следовательно,
\angle NQC=180^{\circ}-\angle OPQ-\angle POC=180^{\circ}-110^{\circ}-60^{\circ}=10^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2018, задача 48, с. 16