18060. Точки A
, B
, C
, D
и E
лежат на одной прямой в указанном порядке. Точка G
лежит вне прямой, а точка F
— на отрезке EG
. Треугольники AGB
, BFG
, BCF
, CDF
и DEF
равновелики. Известно, что CD=5
. Найдите AB
.
Ответ. \frac{15}{4}
.
Указание. Площади треугольников с равными высотами относятся, как их основания.
Решение. Равновеликие треугольники BCF
, CDF
и DEF
с общей высотой (обозначим её h
), проведённой из их общей вершины F
, имеют равные основания BC=CD=DE
. Отношение площадей треугольников BEG
и BEF
равно \frac{4}{3}
, тогда отношение высот, проведённых из вершин G
и F
равновеликих треугольников ABG
и CDF
, тоже равно \frac{4}{3}
. Значит,
\frac{1}{2}AB\cdot\frac{4}{3}h=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot h~\Rightarrow~AB=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}\cdot5=\frac{15}{4}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2021, задача 23, с. 7