18061. Диагонали BE
и выпуклого шестиугольника ABCDEF
пересекаются в точке G
(см. рис.). Известно, что AB=7{,}5
, BG=5
, GE=3
, GF=4{,}8
, \angle BAF=\angle CDE
, \angle AG=50^{\circ}
, \angle CBG=65^{\circ}
, AB\parallel CF
и CD\parallel BE
. Найдите CD
.
Ответ. 5,7.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BE'=BE=5+3=8
и построим параллелограмм AFD'E'
. Из параллельности AB
и CF
получаем
\angle BCG=\angle CBE'=180^{\circ}-65^{\circ}-50^{\circ}=65^{\circ}=\angle CBG.
Тогда треугольник BGC
равнобедренный, CG=BG=5
.
Поскольку
\angle FD'E=\angle FAE'=\angle FAB=\angle EDC,
а BC
— биссектриса угла E'BE
(а значит, и угла DCD'
), то точка D'
симметрична точке D
относительно прямой BC
. Следовательно,
CD=CD'=FD'-FC=AE'-FC=(7{,}5+8)-(4{,}8+5)=15{,}5-9{,}8=5{,}7.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2021, задача 29, с. 9