18063. Окружности \Omega_{B}
и \Omega_{C}
касаются окружности \Omega_{A}
в точках P
и Q
соответственно. Найдите радиус R_{A}
окружности \Omega_{A}
, если радиусы R_{B}
и R_{C}
окружностей \Omega_{B}
и \Omega_{C}
равны 5 и 3 соответственно, PQ=6
, а отрезок ST
общей внешней касательной окружностей \Omega_{B}
и \Omega_{C}
равен 12.
Ответ. \frac{4+\sqrt{61}}{3}
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник PQST
вписанный а лучи TP
и SQ
пересекаются на окружности \Omega_{A}
.
Решение. Пусть точки T
и S
лежат на окружностях \Omega_{B}
и \Omega_{C}
соответственно, а A
, B
и C
— центры окружностей \Omega_{A}
, \Omega_{B}
и \Omega_{C}
соответственно. Обозначим \angle QAP=\alpha
, \angle PBT=\beta
и \angle SCQ=\gamma
.
Поскольку BT\perp TS
и CS\perp TS
, а сумма углов пятиугольника TBACS
равна 180^{\circ}(5-2)=540^{\circ}
, то
\alpha+\beta+\gamma=540^{\circ}-2\cdot90^{\circ}=360^{\circ}.
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle PTS=\frac{1}{2}\angle PBT=\frac{\beta}{2},~\angle PST=\frac{1}{2}\angle QCS=\frac{\gamma}{2},
поэтому
\angle SQP=\angle QPS-\angle QSP=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=
=\frac{\alpha+\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=180^{\circ}-\angle PTS.
Значит, четырёхугольник PQST
вписанный.
Пусть лучи TP
и SQ
пересекаются в точке D
. Тогда из вписанности четырёхугольника PQST
получаем \angle DPQ=\angle QST
, поэтому треугольники DST
и DPQ
с общим углом при вершине D
подобны по двум углам. Значит,
\frac{PQ}{TS}=\frac{DP}{DS}=\frac{DQ}{DT}.
Из равенств \angle PTS=\frac{\beta}{2}
и \angle PST=\frac{\gamma}{2}
получаем
\angle SDT=\angle QDP=\frac{\alpha}{2},
а это означает, что точка D
лежит на окружности \Omega_{A}
. Тогда \angle DPA=\angle BPT
, поэтому равнобедренные треугольники APD
и BPT
подобны. Аналогично, равнобедренные треугольники ADQ
и CSQ
тоже подобны. Значит,
\frac{TP}{DP}=\frac{BP}{AP}=\frac{R_{B}}{R_{A}}~\mbox{и}~\frac{SQ}{DQ}=\frac{CQ}{AQ}=\frac{R_{C}}{R_{A}}~\Rightarrow~\frac{DP}{DP}=\frac{R_{A}+R_{B}}{R_{A}}~\mbox{и}~\frac{DS}{DQ}=\frac{R_{A}+R_{C}}{R_{A}}.
Тогда
\frac{TS^{2}}{PQ^{2}}=\frac{DS}{DP}\cdot\frac{DT}{DQ}=\frac{(R_{A}+R_{B})(R_{A}+R_{C})}{R_{A}^{2}},~\mbox{или}~\frac{12^{2}}{6^{2}}=\frac{(R_{A}+5)(R_{A}+5)}{R_{A}^{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~3R_{A}^{2}-8R_{A}-15=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого квадратного уравнения R_{A}=\frac{4+\sqrt{61}}{3}
.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2021, задача 51, с. 18