18064. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами AB=BC=4
. Точка P
расположена внутри треугольника ABC
, причём AP=2
. Найдите наименьшую возможную сумму \frac{1}{2}PB+CP
.
Ответ. \sqrt{17}
.
Указание. Треугольники PAT
и PAB
подобны с коэффициентом \frac{1}{2}
.
Решение. Отметим на стороне AB
точку T
, для которой AT=1
. Поскольку AP=2
и AB=4
, то
4=AP^{2}=1\cdot4=AT\cdot AB~\Rightarrow~\frac{AP}{AT}=\frac{AB}{AP},
а так как \angle PAT=\angle PAB
, то треугольники PAT
и PAB
подобны. Тогда
\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{AB}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~PT=\frac{1}{2}PB~\Rightarrow~\frac{1}{2}PB+CP=PT+CP.
По теореме Пифагора
CT=\sqrt{AT^{2}+AC^{2}}=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}.
Следовательно,
\frac{1}{2}PB+CP=PT+CP\geqslant TC=\sqrt{17}.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда точки C
, P
и T
лежат на одной прямой.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2022, задача 44