18066. Внутри правильного пятиугольника ABCDE
построен квадрат ABPQ
(вершины пятиугольника и квадрата перечислены против часовой стрелки). Отрезки AC
и BP
пересекаются в точке H
. Найдите угол SHB
.
Ответ. 54^{\circ}
.
Решение. Углы правильного пятиугольника равны 108^{\circ}
. Треугольник ABC
равнобедренный с углом 108^{\circ}
при вершине B
и углами 36^{\circ}
при основании AC
. Тогда
\angle CBH=\angle ABC-\angle ABP=108^{\circ}-90^{\circ}=18^{\circ}.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AHB=\angle HCB+\angle CBC=\angle ACB+\angle CBH=36^{\circ}+18^{\circ}=54^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2023, задача 4