18067. Площадь треугольника ABC
равна 1. На продолжениях сторон BC
, CA
и AB
отложены отрезки соответственно CD=BC
, AE=2CA
и BF=3AB
. Найдите площадь треугольника DEF
.
Ответ. 18.
Решение. Треугольник ACD
равновелик треугольнику ABC
, так как AC
— медиана треугольника ABD
, поэтому
S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}=1.
Площадь треугольник ECD
в три раза больше площади треугольника ACD
, так как CE=3AC
, а высоты этих треугольников, проведённые из общей вершины A
, равны. Значит,
S_{\triangle CED}=3S_{\triangle ABC}=3,
а так как EC
— медиана треугольника BEC
. то
S_{\triangle BEC}=S_{\triangle CED}=3~\Rightarrow~S_{\triangle AEB}=2~\Rightarrow~S_{\triangle AEF}=4S_{\triangle AEB}=8.
Аналогично получим, что
S_{\triangle BFC}=3S_{\triangle ABC}=3~\Rightarrow~S_{\triangle BFD}=2S_{\triangle BFC}=6.
Следовательно,
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle CED}+S_{\triangle AEF}+S_{\triangle BFD}+S_{\triangle ABC}=3+8+6+1=18.
Источник: Чешские математические олимпиады. — 2023, задача 34