18068. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Точки D
и E
лежат на отрезках AB
и AC
соответственно, причём O
— середина отрезка DE
. Известно, что AD=8
, BD=3
и AO=7
. Найдите CE
.
Ответ. \frac{4\sqrt{21}}{7}
.
Указание. Рассмотрите центральную симметрию относительно точки O
.
Решение. При симметрии относительно точки O
точки D
и E
переходят в точки E
и D
соответственно, точка A
— в точку A'
, диаметрально противоположную точке A
, а точка B
— в точку B'
, диаметрально противоположную точке B
. Тогда B'E=BD
и B'E\parallel BD
. Поскольку ABA'B'
— прямоугольник, то A'B'\parallel AB
, поэтому точка E
лежит на отрезке A'B'
. Кроме того, из центральной симметрии A'E=AD
.
Треугольники AB'A'
прямоугольные, так как \angle AB'E=\angle AB'A'=90^{\circ}
. По теореме Пифагора
AB'=AA'^{2}-A'B'^{2}=AA'^{2}-AB^{2}=14^{2}-11^{2}=75,
AE=\sqrt{AB'^{2}+B'E^{2}}=\sqrt{AB'^{2}+BD^{2}}=\sqrt{75+9}=2\sqrt{21}.
Четырёхугольник AB'CA'
вписанный, поэтому треугольники AB'E
и A'CE
подобны. Следовательно,
\frac{CE}{A'E}=\frac{B'E}{AE}~\Rightarrow~CE=A'E\cdot\frac{B'E}{AE}=AD\cdot\frac{BD}{AE}=8\cdot\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{4\sqrt{21}}{7}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2023, задача 47, с. 16