18070. Точка P
расположена внутри треугольника ABC
. Известно, что AP=\sqrt{3}
, BP=5
, CP=2
, AB:AC=2:1
и \angle BAC=60^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{7+2\sqrt{3}}{2}
.
Пусть Q
— точка вне треугольника ABC
, для которой треугольник ABQ
подобен треугольнику ACP
. Тогда
AQ=2AP=2\sqrt{3}~\mbox{и}~BQ=2CP=4.
В то же время,
\angle QAP=\angle QAB+\angle BAP=\angle CAP+\angle BAP=\angle BAC=60^{\circ},
Треугольник BQP
прямоугольный, так как
BP=5^{2}=3^{2}+4^{2}=PQ^{2}+QB^{2}.
Тогда
\angle AQB=\angle AQP+\angle BQP=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов
AB^{2}=AQ^{2}+BQ^{2}-2AQ\cdot BQ\cos120^{\circ}=12+16+2\cdot2\sqrt{3}\cdot4\cdot\frac{1}{2}=
=28+8\sqrt{3}=4(7+2\sqrt{3}),
а так как AC=\frac{1}{2}AB
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{8}AB^{2}\sqrt{3}=\frac{1}{8}\cdot4(7+2\sqrt{3})=\frac{7+2\sqrt{3}}{2}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2023, задача 58, с. 21