18071. На рисунке изображена фигура, состоящая из равностороннего треугольника, правильного пятиугольника и прямоугольника, причём некоторые вершины лежат на окружности, часть которой изображена на рисунке. Найдите градусную меру отмеченного угла.
Ответ. 36^{\circ}
.
Решение. Пусть вершина H
правильного пятиугольника ABFGH
и вершина D
прямоугольника DCFK
лежат на хорде DE
данной окружности \Omega
, а вершины B
и C
равностороннего треугольника BCF
— на дуге DAE
окружности \Omega
.
Четырёхугольник ABCE
вписанный, поэтому
\angle AEC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-108^{\circ}-60^{\circ}=12^{\circ}.
Четырёхугольник BEDC
вписанный, поэтому
\angle BED=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.
Вписанные углы BAC
и BEC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а так как треугольник ABC
равнобедренный с углом 108^{\circ}+60^{\circ}=168^{\circ}
при вершине B
, то
\angle BEC=\angle BAC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}-84^{\circ}=6^{\circ},
причём EB
— биссектриса угла AEC
, так как B
— середина дуги AC
. Значит, \angle AEB=6^{\circ}
. Следовательно,
\angle AED=\angle AEB+\angle BED=6^{\circ}+30^{\circ}=36^{\circ}.
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2024, задача 22